Page 219 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

再来看一个稍有变化的变体. 我们定义 h = u - t. 由于 u 非常靠近 t,

两时刻的差值 h 一定非常小. 确实, 当 u → t 时, 可以看到 h → 0. 如

果在上述极限中作如此替换的话, 由于 u = t + h, 也会有

在时刻 t 的瞬时速度 .

该公式和前一个公式没有实质性差别, 只是写法不同而已.

让我们来看一个小的例子. 假设处于静止状态的汽车从 7 英里标

志处向右开始加速, 并设此时刻 t = 0 小时. 结果表明, 汽车在时刻 t

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的位置好像是 15t + 7(这里的数 15 取决于加速度). 暂且不去担心

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为什么会如此, 让我们设 f (t) = 15t + 7, 并看看是否可以求出汽车

在任意时刻 t 的速度.

使用上述公式有

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现在展开 (t + h) = t + 2th + h , 并进一步化简, 看到上述表达式
变为