Page 214 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

5.2 可导性

我们已经花了一些时间来学习连续性. 现在该来看看函数能够具有的另

一种光滑性 —— 可导性. 这实质上意味着函数有导数. 因此, 我们会花

相当一部分时间来研究导数. 发展微积分的最初灵感之一来自试图去理

解运动物体的速度、距离和时间的关系. 因此, 让我们从那里开始, 之

后再回到函数.

5.2.1 平均速率

想象一下, 在高速路上给一辆汽车拍照. 曝光时间非常短, 因此图像并

不模糊 —— 你甚至不能分辨那辆车是不是在动. 现在, 我问你：拍照

时汽车的运动速度有多快？你说, 没问题, 只需使用经典公式

但问题是, 照片无法告诉你距离 (那辆车没有动) 或时间 (照片实质上是

捕捉了一瞬间). 因此, 你无法回答我的问题.

嗯, 但如果我告诉你, 拍照之后的一分钟, 汽车行驶了一英里呢？这时

你就可以使用以上公式来计算了, 汽车一分钟开了一英里, 速率是 60

英里/小时. 但仍旧, 你如何知道汽车在那一分钟里的速率是一样的呢？