Page 227 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在这种情况下, f 在 x 点可导. 如果对于某个特定的 x, 极限不存在, 那

么 x 的值就没有在导函数 f' 的定义域里, 即 f 在 x 点不可导. 有很多

原因会导致极限不存在. 比如说, 那里有一个尖角, 就像前述 y = |x| 的

例子中那样. 从更基本的层次上说, 如果 x 没有在 f 的定义域中, 那么

甚至不可能画出点 (x, f (x)), 更不用说在那里画一条切线了.

回忆一下 5.2.3 节中瞬时速度的定义吧：

在时刻 t 的瞬时速度 ,

其中 f (t) 是汽车在时刻 t 的位置. 等号右边的表达式和上述 f' (x) 的

定义一样, 只是用 x 代替了 t! 这就是说, 如果 v (t) 是在时刻 t 的瞬时

速度, 那么 v (t) = f' (t). 速度正是位置关于时间的导数.

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来看一个关于求导的例子. 如果 f (x) = x , 那么 f' (x) 是什么

呢？计算过程和 5.2.3 节结尾部分很相似：

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因此, f (x) = x 的导数由 f' (x) = 2x 给出. 这意味着, 抛物线 y =
2
2
x 在点 (x, x ) 的切线的斜率就是 2x. 让我们画出该曲线和一些切线
来检验一下, 如图 5-15 所示.