Page 232 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

总而言之, 量 是 y 关于 x 的导数. 如果 y = f (x), 那么 和 f' (x)

是一回事. 最后, 请记住, 量 实际上根本不是一个分数, 它是当 Δx

→ 0 时分数 的极限.

5.2.8 线性函数的导数

让我们暂停一下喘口气, 回到一个简单的例子：假设 f 是线性的. 这意

味着, 对于某个 m 和 b, f (x) = mx + b. 你认为 f' (x) 会是什么？回

想一下, 它度量的是, 曲线 y = f (x) 在点 (x, f (x)) 处的切线的斜率.

在这个例子中, y = mx + b 的图像就是斜率为 m、y 轴截距为 b 的

一条直线. 显而易见, 该条直线上任意一点的切线就是这条直线本身!

这意味着, 不管 x 取何值, f' (x) 的值就应该是 m, 因为曲线 y = mx

+ b 有固定的斜率 m. 用公式检验一下：

因此, 不管 x 取何值, f' (x) = m. 这就是说, 线性函数的导数是常数.

如你所想, 只有线性函数有固定的斜率 (这是所谓的中值定理的结果,

具体参见 11.3.1 节). 顺便说一下, 如果 f 是常数函数, 即 f (x) = b,

那么其斜率总是 0. 特别是, 对于所有的 x, f' (x) = 0. 因此, 这证明了

常数函数的导数恒为 0.