Page 235 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们之前看到过这个极限! 事实上, 在 4.6 节, 该极限不存在. 这意味

着, f' (0) 的值无定义, 即 0 没有在 f' 的定义域中. 然而我们也看到过,

如果将它由一个双侧极限改为单侧极限, 那么以上极限存在. 特别是,

右极限是 1, 左极限是 -1. 这激发了右导数和左导数的思想, 其定义分

别为

和 .

它们看起来和普通导数的定义很相似, 只是双侧极限 (即当 h → 0) 分

别由右极限和左极限所代替. 跟在极限的情况一样, 如果左导数和右导

数存在且相等, 那么实际的导数存在且有相同的值. 同时, 如果导数存

在, 那么左右导数都存在且都等于导数值.

不管怎样, 这里的要点是, 如果 f (x) = |x|, 那么在 x = 0 处其右导数

为 1, 左导数为 -1. 你相信吗？让我们再来看看图 5-16. 当从原点出发

沿着该曲线向右移动时, 它的斜率确实是 1 (事实上, 斜率始终为 1, 即

如果 x > 0, f' (x) = 1). 类似地, 从原点出发沿着该曲线向左移动时,

它的斜率是 -1 (事实上, 如果 x < 0, f' (x) = -1). 由于左侧斜率不等

于右侧斜率, 所以在 x = 0 处导数不存在.