Page 237 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

将买一赠一, 获知该函数的连续性. 更确切地说, 我将要表明：

例如, 将在第 7 章证明, sin (x) 作为 x 的函数是可导的. 这将自动暗示

它在 x 处也是连续的. 同样的结论也适用于其他的三角函数、指数函数

和对数函数 (除了在它们的垂直渐近线处).

那么该如何证明我们这个重大断言呢？先来看看我们想证明的是什么.

要证明 f 在 x 上连续, 需要证明

并且根据 5.1.1 节, 只有当等号两边同时存在时, 上式才成立! 在继续

证明之前, 我想用 h = u - x 作替换, 正如我们之前做过的. 在这种情况

下, u = x + h, 并且当 u → x 时, 我们看到 h → 0. 因此, 上式变为

我们需要证明等号两边都存在且相等 —— 那样的话, 就完成任务了.

目标已经明确, 现在就让我们从实际知道的开始吧. 我们知道 f 在 x 上

可导; 这意味着, f' (x) 存在, 因此根据 f' 的定义, 极限