Page 254 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如你所见, 商的情况并不比乘积的难多少 (就是更杂乱了些).

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数

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假设 h (x) = (x + 1) , 你想要求 h' (x). 将它展开来求乘积是很可
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笑的 (这样的话, 就必须用 x + 1 和它本身相乘 99 次, 那将是很耗时

的). 使用乘积法则也会很荒唐, 因为需要使用很多很多次.

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相反, 将 h 看作是两个函数 f 和 g 的复合, 其中 g (x) = x + 1, f (x)
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= x . 确实, 如果取一个 x, 将它放入 g 中, 会得到 x + 1. 现在, 如
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果把它放入 f , 会得到 (x + 1) , 即 h (x). 这样, 就把 h (x) 写成了
f (g (x)). (更多有关复合函数的内容请参见 1.3 节.) 现在, 可以应用链

式求导法则了：

该公式看起来有点棘手. 让我们分解一下. 第二个因子很简单, 它正好

是 g 的导数. 那么第一个因子呢？好吧, 必须对 f 求导, 然后求其在 g

(x) 而不是 x 处的结果.

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在例子中, 有 f (x) = x , 这样 f' (x) = 99x . 也有 g (x) = x 2
+ 1, 故 g' (x) = 2x. 第二个因子就是 2x. 那么第一个因子呢？好, 取

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f' (x), 但现在不是将 x, 而是将 x + 1 (因为这就是 g (x)) 放入其中.