Page 301 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于匹配了项 5x (一个在分母上, 一个在正弦的变量中), 由前可知, 该

分式的极限为 1, 因此总的极限是 5. 放到一起, 问题的解如下：

现在来看一个更难的例子. 极限

是什么？我们分别来看一下该表达式中的四个因子. 首先考虑 sin 3

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(2x). 这其实就是 (sin (2x)) 的另外一种写法. 为了处理 sin (2x), 需
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要用 2x 做除法和乘法; 而为了处理其立方, 需要用 (2x) 做除法和乘

法. 也就是说, 用

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替换 (sin (2x)) . 那么 cos (5x ) 又如何呢？其实, 当 x 很小的时候,
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5x 也很小, 因此, 就是在取一个小数的余弦. 极限的结果应该是 1,

因此不用对第二个因子进行操作.

在分母上, 我们有一个因子 x, 不能对它做任何操作. (我们也不想, 它实

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际上已经很容易处理了!) 还有一个因子 tan (5x ). 我们对 5x 做除法
和乘法, 以便用