Page 332 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

你可以使用三明治定理以及任何东西 (甚至是 1/x ) 的正弦或余弦都在

-1 和 1 之间的这一事实来求解这三个极限中的前两个. 第三个极限稍

微复杂些, 但我们在 3.3 节中已经讨论过 sin (1/x ), 而将正弦改为余

+
弦并没有什么区别. 问题 (你可能还记得) 是, 当 x → 0 时, cos (1/x

) 在 -1 和 1 之间的振荡变得越来越激烈, 因此极限不存在.

不管怎样, 第一个极限是说 , 尽管 f (0) 是无定义的. 这意味

着, 通过填充点 f (0) = 0, 可以将 f 扩展为连续函数. 因此, 我们抛弃

旧的 f 并由以下 公式定义一个新的 f ：

我们刚刚证明了这个改善后的 f 是处处连续的. 我们已经求出当 x ≠ 0

时它的导数是

那么在 x = 0 处 f 的导数又是什么呢？在这里没有一个法则能够帮得

上忙, 我们必须使用导数的定义公式：