Page 336 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

8.1 隐函数求导

考虑两个导数：

和 .

正如我们已经看到的, 第一个就是 2x. 那么第二个是 2y 吗？如果是

关于 y 求导, 那么结果就是它, 但这不是关于 y 求导, 在分母上的 dx

告诉我们这是在关于 x 求导. 我们该如何处理呢？

最好的方法是告诉自己, 上面第一个导数问的是：当对 x 稍作改变时,

2
量 x 会有多大变化. 正如我们在 5.2.7 节中看到的, 如果对 x 稍作改

2
变, 那么 x 就会有近似 2x 倍那么多的变化.

2
另一方面, 如果对 x 稍作改变, y 会怎么样？这正是为了求出上面第

2
二个导数 d (y ) /dx 所需要知道的. 不妨这样思考：如果改变 x, 那么
2
y 会有点变化; y 的这个变化又会引起 y 的变化. (当然, 这一切只有

当 y 依赖于 x 时才正确. 如果不是这样的话, 那么改变 x 时, y 根本不

会有任何变化. )

如果你认为这听起来我好像是在暗示链式求导法则, 那你想得一点没

2
错. 以下就是它如何具体动作. 令 u = y , 则 du/dy = 2y. 根据链式

求导法则,