Page 334 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

是什么呢？由于我们知道 f' (0) = 0, 你或许会认为以上极限就是 0.

利用前述 f' (x) 在 x ≠ 0 时的公式, 让我们来检验一下吧：

这里有两项需要处理. 第一项 (2x sin (1/x )) 的极限趋于 0, 因为它就

是之前三个极限中的中间那个的两倍. 另一方面, 第二项 (cos (1/x ))

当 x → 0 时极限不存在, 这正是前述第三个极限所表达的意思. 因此结

论是, 不存在. 根据对称性 (检验一下 f 是一个奇函数),

也不存在.

现在来总结一下我们的发现. 我们的函数 f 处处连续且处处可导, 甚至

在 x = 0 处也不例外. 事实上, 在 x = 0 处, 导数 f' (0) 等于 0, 但在

0 的附近, 导数 f' (x) 振荡得很激烈： 不存在, 尽管 f' (0) 存

在. 特别是, 我们证明了导函数 f' 本身不是连续函数. 因此, 存在本身可

导但其导数不连续的函数. 这真是十分的有趣!

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