Page 328 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

基本上, 如果用 ax 替换 x, 那么当求导的时候, 在最前面会有一

个额外的因子 a. 这对于其他三角函数也适用. 例如, tan (x) 关于 x 的

2
2
导数是 sec (x), 因此 tan (2x) 的导数是 2 sec (2x). 同样地, csc
(x) 的导数是 -csc (x) cot (x), 因此 csc (19x) 的导数是 -19 csc

(19x) cot (19x). 这可以让你在这些简单的情况下免去使用链式求导

法则.

7.2.2 简谐运动

三角函数自然而然会出现的一个地方是描述弹簧振子的运动. 事实表

明, 如果 x 是弹簧振子在时刻 t 的位置, 我们取向上的方向作为正方向,

那么描述 x 的方程大致类似于 x = 3 sin (4t). 数 3 和 4 可能会改变,

“正弦” 也可能变成 “余弦”, 但基本思想就是那样. 该方程是合理的. 毕

竟, 余弦函数总是来回振荡, 而振子也是如此. 这种类型的运动被称为

简谐运动.

因此, 如果 x = 3 sin (4t) 是振子从初始点出发的位移, 那么在时刻 t

振子的速度和加速度是多大呢？需要做的就是求导. 我们知道 v =

dx/dt, 因此只需要对 3 sin (4t) 关于 t 求导. 可以使用链式求导法则,

但使用上一节结尾的那个结论会更简单. 确实, 为了对 sin (4t) 关于 t