Page 329 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

求导, 我们观察到 sin (t) 的导数是 cos (t), 因此 sin (4t) 的导数就是

4 cos (4t). (不要忘记在最前面有一个 4!) 总而言之, 我们有

现在可以对加速度, 它由 dv/dt 给出, 重复这个过程. 使用相同的技巧,

得到

注意到加速度 (当然它就是位移的二阶导) 基本上和位移本身是一样的,

除了最前面有一个负号以及系数有所不同 (48 取代了 3). 这个负号表

示加速度和位移的方向是相反的. 事实上, 由于 48 = 3 × 16, 这就证

明了

现在, 为了阐释这个方程, 让我们更深入地研究一下振子的运动.

位置 x 由 x = 3 sin (4t) 给出, 当振子在平衡位置时有 x = 0. 现在,

如果用 3 和不等式 -1 ≤ sin (4t) ≤ 1 相乘 (这对所有的 t 都成立), 我

们得到 -3 ≤ 3 sin (4t) ≤ 3. 也就是说, -3 ≤ x ≤ 3. 因此, 可以看到

x 在 -3 和 3 之间振荡. 当 x 为正时, 振子在平衡位置的上方, 那么 a

是负的, 这很好：加速度是向下的, 一如它理当如此. 当 x 变得越来越

大时, 弹簧压缩得更厉害, 致使振子经受一个更大的力和向下的加速度.

最终, 振子开始向下运动, 不一会儿, x 变为负的. 然后, 振子在它平衡