Page 349 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

8.2 相关变化率

设想有两个相关的量 (随你喜欢让它们测量什么), 如果你知道其中之

一, 就可以求出另外一个. 例如, 如果你一直盯着一架飞过你头顶的飞

机, 那么你的视线与地面的夹角取决于飞机的位置. 在这种情况下, 这

两个量就是飞机的位置和我刚刚描述的那个夹角.

当然, 当这两个量中的一个发生变化时, 另一个也会发生相应的变化.

假设我们知道其中一个量变化有多快, 那么另一个量的变化有多快呢？

这就是我们所说相关变化率的意思. 你看, 变化率是一个量随时间改变

的速率. 现在我们有两个相关的量, 想要知道它们的变化率是如何相互

关联的.

以上变化率的定义有点粗略. 如果你想要知道某物随时间的变化有多

快, 只需简单地对其关于时间求导. 因此, 以下是其真正的定义：量 Q

的变化率是 Q 关于时间的导数. 也就是说,

当你看到 “变化率” 这几个字时, 应该自动想到 “d/dt”.

那么如何从一个涉及两个相关量的方程求出涉及这两个量的相关变化

率的方程呢？当然是求导了! 如果你对等号两边关于 t 做隐函数求导的