Page 351 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

就会让量无从变化, 从而变化率将全部为 0. 冻结一切, 你就只能得到这

个了 ……

8.2.1 一个简单的例子

下面是一个说明上述方法的相对简单的例子. 设想用打气筒给一个

完美球体的气球充气. 空气以常数变化率 12π 立方英寸每秒进入气球.

当气球的半径达到 2 英寸时, 气球的半径的变化率是多少？此外, 当气

球的体积达到 36π 立方英寸时, 气球的半径的变化率又是多少？

好, 先让我们写出全部的量 (第 1 步). 它们分别是气球的体积和半径.

我们称体积为 V (单位是立方英寸), 半径为 r(单位是英寸). 我们需要求

出半径 r 的相关变化率. 现在, 需要一个关联 V 和 r 的方程 (第 2 步).

这里会用到一些几何知识. 由于气球是一个球体, 我们知道

该式关联了所有的量. 现在, 需要关联各个变化率了 (第 3 步). 对方程

两边关于 t 做隐函数求导：

3
2
左边正好是 dV/dt; 为了处理右边, 令 s = r , 这样 ds/dr = 3r . 根据
链式求导法则,