Page 352 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在, 可以将它代入上述方程, 得到

这样, 就有了一个关联 V 和 r 的变化率的方程. 最后准备做替换 (第 4

步). 在问题的两个部分中, 体积的变化率都是 12π 立方英寸/秒. 用符

号表示, 我们有 dV/dt = 12π. 将它代入上述方程, 得到

整理可得

太棒了! 这意味着, 如果我们知道半径 r, 那么就可以求出半径的变化

率, 也就是 dr/dt. 注意到半径的变化率本身是一个变化的量, 它依赖于

半径. 你很可能也经历过, 当你吹气球时, 一开始它的大小 (或半径) 会

增长得很快, 然后其增长速度会降低, 尽管你一直是将相同量的空气吹

进气球的. 上述 dr/dt 的公式验证了这一点, 它在 r 上是递减的.

有了这个公式, 我们可以快速地对问题的两个部分作解答. 对于第一部

分, 我们知道半径是 2 英寸, 故在以上公式中令 r = 2, 得到