Page 371 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

就是说, 根本就不存在底数为 1 的对数. 那么底数为 1/2 呢？这没问

题, 但我们很少需要一个底数为 1/2 的对数, 因为事实表明, 对于任意

x
的 y, log 1/2 (y) = -log (y). (通过设 y = (1/2) 并注意到 y 也等于
2
-x
2 , 你便可以证明该式.) 同理, 对于任意的介于 0 和 1 的底数 b, 对

于所有的 y, log (y) = -log 1/b (y), 且 1/b 大于 1. 因此, 从现在开
b

始, 我们将总是假设底数 b 大于 1.

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数

通过使用反函数, 我们可以对之前看到的一切进行更精密的描述. 固定

x
一个底数 b > 1 并且设 f (x) = b . 函数 f 的定义域是 且值域为

(0, ∞). 由于它通过了水平线检验, 因此它有反函数, 我们称之为 g. g

的定义域是 f 的值域, 即 (0, ∞), 而 g 的值域就是 f 的定义域, 即 .

我们说, g 是底数为 b 的对数. 事实上, 根据定义, g (x) = log (x).
b

忆及反函数的图像就是原始函数关于镜面直线 y = x 的映像, 我们可

x
以在同一坐标系下画出 f (x) = b 及其反函数 g (x) = log (x) 的图
b

像, 如图 9-1 所示.