Page 376 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

法则 3 有点难度. 我们必须证明 log (xy) = log (x) + log (y), 其
b
b
b
中 x 和 y 是正的且 b > 1. 让我们从之前已经多次注意到的一个重要

事实开始 (用 A 替换之前的变量)：对于任意的 A > 0,

如果用 x、y 及 xy 分别替换 A, 则分别得到

现在, 将第一个和第二个方程相乘, 然后和第三个方程相比较, 得到

那又怎么样呢？好吧, 在左边使用指数法则 3; 由于我们必须把指数相

加, 故方程变为

现在, 在方程两边取以 b 为底的对数来去掉底数 b; 这样, 我们就得到

了对数法则 logb (x) + log (y) = log (xy). 这真是不错!
b
b

至于法则 4, 我将它留给你来证明, 证明过程几乎和我们刚刚证明

的法则 3 是一样的. 因此, 让我们来看看法则 5. 我们想要证明 log b

y
(x ) = y log (x), 其中 x > 0, b > 1 且 y 是任意实数. 为了求证,
b
y
还是由前面的那个重要事实开始, 但这次用 x 替换 A, 得到