Page 379 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

9.2 e 的定义

到目前为止, 我们还没有做过涉及指数函数或对数函数的任何微积分运

算. 现在就开始做些吧. 我们会先从极限开始, 然后进入导数. 在这一过

程中, 需要引入一个新的常数 e. 和 π 一样, 它也是一个特别的数 ——

当你对数学探索得足够深时, 它就会不知从哪儿冒出来. 一种探索 e 从

何而来的方法会涉及一点金融问题.

9.2.1 一个有关复利的问题

很久以前, 一个名叫伯努利的家伙回答了一个有关复利的问题. 下面就

是该问题. 设想你在一家银行有一个银行账户, 该银行付给你一个慷慨

的利息年利率 12%, 一年计一次复利. 你将一笔初始存款存入账户. 每

一年你的财富增加 12%. 这意味着, n 年后, 你的财富会增加到原来的

n
(1 + 0.12) 倍. 特别地, 一年后, 你的财富就是 (1 + 0.12) 乘以原始

存款. 如果你最开始存入了 100 美元, 年底你会得到 112 美元.

现在设想你发现另一家银行, 它也提供 12% 的年利率, 但它是一年计

两次复利. 当然, 每半年, 你不会得到 12%; 你必须用它除以 2. 简单

说, 这意味着, 每六个月你会得到 6% 的利息. 因此, 如果你将钱存入这

个银行账户, 那么一年后, 它会以 6% 的利息计算复利两次; 结果就是