Page 385 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

以读作 “log x”, 或 “ell en x”, 又或特别严谨地 ——“x 的自然对数”.

事实上, 大多数数学家写不带底数的 log (x) 来表示和 log (x) 及 ln
e
(x) 相同的意思. 底数为 e 的对数称为自然对数. 在下一节, 当对 log b

(x) 关于 x 求导时, 我们会看到为什么说它 “自然” 的一个原因.

我们有了一个新的底数 e, 以及以 e 为底时的一个新的对数写法, 再来

看看迄今已经看到的对数法则和公式吧. 看你是否能让自己确信, 对于

x > 0 和 y > 0, 下列公式都成立：

(事实上, 在第二个公式中, x 甚至可以是负数或 0; 在最后一个公式中,

y 可以是负数或 0.) 不管怎样, 知道在这种形式下的对数法则是很值得

的, 因为从现在起, 我们会几乎总与自然对数打交道.

在我们讨论对数函数和指数函数求导之前, 再多看一点. 假设你取

重要极限

这一次, 替换 h = 1/n. 正如我们在上一节注意到的, 当 n → ∞ 时, 我

+
们有 h → 0 . 因此, 用 1/h 替换 n, 得到