Page 386 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

+
这是一个右极限. 事实上, 你可以用 h → 0 替换 h → 0 , 对于双侧极

r
限仍然成立. 我们所需的就是证明, 左极限是 e , 然后左极限等于右极

r
限, 故双侧极限也等于 e . 为此, 考虑

-
+
用 -t 替换 h, 那么当 h → 0 时, t → 0 . (当 h 是一个很小的负数时, t
= -h 就是一个很小的正数.) 故

-1
由于对于任意的 A ≠ 0, A = 1/A, 我们可以重新将极限写成

+
分母就是利率为 -r 而不是 r 的经典极限. 这意味着, 当 t → 0 时, 在

-r
该极限中, 分母趋于 e . 因此, 综合起来有

-r
r
由于 e = 1/e , 故最后一步成立. 这样, 我们完成了想要的证明. 让我
们在所有的公式中将 r 改为 x(为什么不呢?) 并总结已经发现的如下事

实：