Page 408 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

再一次地, 要注意到该曲线绝不会触碰到 y 轴, 尽管看起来它好像是.

它只是非常非常接近 y 轴. 不管怎样, 我们看起来好像有

这一点实际上很容易直接表明. 你认为 ln (x) 会达到 1000 吗？当然

N
会：ln (e 1000 ) = 1000. 同样的技巧适用于任意的数 N . 取 x = e ,

N
你就会发现 ln (x) = ln (e ) = N . 因此, ln (x) 会变多大是没有极限

的, 当 x → ∞ 时, 它趋于 ∞ …… 但有多快呢？

我们很容易看出其增长速度相当慢. 正如我们刚刚注意到的, ln

(e 1000 ) = 1000. 数 e 1000 是极大的正数 (比宇宙中的原子数目还要

大), 而其对数仅为 1000. 简直是把它打回原形!

更确切地说, 事实表明, ln (x) 趋于无穷大的速度比 x 的任意正次幂都

要慢很多, 甚至如 x 0.0001 . 因此, 如果你取 ln (x) 和 x 的任意正次幂

的比, 那么该比值应该会很小 (至少当 x 非常大时会很小). 用符号表

示, 我们有

对数函数增长缓慢：不管 a 有多小,

正如在指数函数中那样, 我们不难将该式扩展成一个更一般的形式：