Page 410 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在这里, 你需要使用右极限, 因为 ln (x) 在 x < 0 上没有定义.

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不过再一次地, 我们还需要再多说一些. 当 x → 0 时, ln (x) 当然趋

于 -∞, 但有多快呢？例如, 考虑极限

如果你只是将 0 代入上式, 这根本不起作用, 因为 ln (0) 不存在. 当 x

是一个比 0 稍大一点的数时, 量 x 很小而 ln (x) 是一个很大的负数.

当你用一个很大的数和一个很小的数相乘时会怎样呢？任何情况都可

能发生, 取决于那些数有多么小和多么大.

下面是一个求解上述问题的方法. 我们用 1/t 替换 x, 于是当 x → 0 +

时, 可以看到 t → ∞. 因此, 有

当然, ln (1/t) 正是 ln (1) - ln (t), 又由于 ln (1) = 0, 它便等于 -ln

(t). 因此, 得到

由于对数函数增长缓慢, 故极限是 0.