Page 436 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

10.1 导数和反函数

在 1.2 节中, 我们回顾了反函数的基本知识. 我强烈建议你在继续阅读

之前再快速地浏览一下那节, 让自己重温一下大致思想. 现在我们已经

了解了一些微积分知识, 对此就有更多可说的了. 特别是, 我们将要讨

论导数和反函数之间的两个联系.

10.1.1 使用导数证明反函数存在

假设有一个可导函数 f , 它的导数总是正的. 你认为该函数的图像会是

什么样的呢？好吧, 切线的斜率必定处处为正, 故该函数不可能上下起

伏：当我们从左向右看时, 它必须是向上的. 换句话说, 该函数一定是

递增的.

我们会在下一章中 (参见 11.3.1 节及 11.2 节) 证明这个事实, 但现

在至少看上去它应该是成立的. 不管怎样, 如果函数 f 总是递增的, 那

么它一定满足水平线检验. 没有水平线会与 y = f (x) 相交两次. 由于

f 满足水平线检验, 所以我们知道 f 有反函数. 这就给我们提供了一个

证明一个函数有反函数的很好策略：证明它的导数在其定义域上总为

正.

例如, 假设在其定义域 (整个实轴) 上,