Page 438 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

没有问题, 只要其导数不在 0 上逗留太久. 以下就是我们对情况的总

结.

导数和反函数：如果 f 在其定义域 (a, b) 上可导且满足以下条件

中的任意一条：

(1) 对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) > 0;

(2) 对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) < 0;

(3) 对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) ≥ 0 且对于有限个数的 x, f'

(x) = 0;

(4) 对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) ≤ 0 且对于有限个数的 x, f'

(x) = 0,

则 f 有反函数. 如果其定义域是 [a, b]、[a, b) 或 (a, b] 的形式, 且 f

在整个定义域上连续, 那么如果 f 满足上述四个条件中的任意一条, 它

仍然有反函数.

下面是另一个例子. 假设在定义域 (0, π) 上 g (x) = cos (x). g

有反函数吗？ 首先, g' (x) = -sin (x). 我们知道, 在区间 (0, π) 上,

sin (x) > 0—— 如果你不相信的话, 只需看一下它的图像. 由于 g'

(x) = -sin (x), 我们看到, 对于所有的在 (0, π) 中的 x, g' (x) < 0.

这意味着, g 有反函数. 事实上, 我们知道在整个的 [0, π] 上 g 有反函