Page 437 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

f 有反函数吗？试图在方程 中调换 x 和 y, 然

后求解 y, 无疑会弄得一团糟. (你试着做做看!) 证明 f 有反函数的一

个更好方法就是求其导数. 我们得到

但那又怎样呢？好吧, f' 是一个二次函数. 它的判别式为 -16, 这是负

的, 因此方程 f' (x) = 0 无解. (关于判别式, 参见 1.6 节.) 这意味着,

f' (x) 一定总为正或总为负： 它的图像不可能与 x 轴相交. 那好, 它究

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竟是正的还是负的呢？由于 f' (0) = 5, 它一定为正. 也就是说, 对于

所有的 x, f' (x) > 0. 这意味着, f 是递增的. 特别是, f 满足水平线检

验, 因此它有反函数.

1 另一个证明方法是配方：x -2x + 5 = (x - 1) + 4 > 0, 因为所有平方 (如 (x - 1) )
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都是非负的.

我们已经看到, 如果对于所有的在其定义域中的 x, f' (x) > 0, 那么 f

有反函数. 这里还有一些变体. 例如, 如果对于所有的 x, f' (x) < 0, 那

么 y = f (x) 的图像是递减的. 尽管如此, 水平线检验仍然适用：图像

是一直向下的, 所以它不可能掉头向上并与同样的水平线相交两次. 另

一个变体是, 其导数在某个位置可能是 0, 但在其他地方都是正的. 这