Page 439 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

数, 因为 g 在那里是连续的. 这里的基本思路是, g (0) = 1, 故 g 始

于高度 1; 又由于当 0 < x < π 时, g' (x) < 0, 我们知道 g 会立即变

得低于 1. 又由于 g (π) = -1, g (x) 的值会下降至 -1, 并且在这个过

程中不会两次到达同一个值. 因此在整个 [0, π] 上 g 有反函数. 我们

将在 10.2.2 节再次讨论这个函数.

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最后一个例子, 在整个 上令 h (x) = x . 我们知道 h' (x) =

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3x , 它不可能是负的. 因此, 对于所有的 x, h' (x) ≥ 0. 幸运的是, 仅

当 x = 0 时 h' (x) = 0, 故只有一点使得 h' (x) = 0. 这就没问题了,

因此 h 仍然有反函数; 事实上, .

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题

我们注意到, 函数的导数可以偶尔是 0, 而该函数仍然有反函数.

但为什么不能允许稍微多一点 f' (x) = 0 呢？例如, 假设 f 定义如

下：

当 x < 0 时, 我们有 f' (x) = -2x, 它是正的 (因为 x 是负的!). 当 0

< x < 1 时, 我们有 f' (x) = 0; 当 x > 1 时, 我们可以看到 f' (x) =