Page 488 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

是局部最小值, 又或者两者都不是？对此一个方法是观察其图像. 如图

11-3 所示. 点 (-1, 44) 比点 (0, 1) 要高, 后者又比点 (1, -12) 高. 所

以在 x = 0 处不可能有局部最大值, 也不可能有局部最小值. 但等等,

你可能会说 —— 图像也可能会像图 11-4 啊.

图 11-3

在图 11-4 中, x = 0 是局部最大值. 但问题在于, 这样的话, 我们在 -1

和 0 之间引入了另一个局部最小值. 毕竟, 如果我们要求曲线连接 (-1,

44) 和 (0, 1), 同时又要求它在 (0, 1) 处是个凸起, 那它势必曾降到比

1 还低的高度. 这意味着这里会有一个低谷. 也就是说, 在 x = -1 和 x

= 0 之间的某处有一个局部最小值! 但是, 这不可能, 因为在 x = -1 和

x = 0 之间没有临界点. 所以该函数的图像必定更接近于图 11-3, 进而

结论是, x=0 既不是局部最大值也不是局部最小值.