Page 499 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

下面是个难点的例子. 假设有这样一个函数, 对于所有的实数 x 处

处可导并且 f' (x) > 4. 问题是, 如何证明这个函数 y = f (x) 的图像与

线性函数 y = 3x - 2 最多只有一个交点. 先试一下, 看你是否可以在继

续阅读之前解决它.

好吧, 究竟该怎样解决这个问题呢？事实上, 这同上一节中的罗尔定理

的例子很相似. 首先, 注意到如果点 (x, y) 是同时满足函数 y = f (x)

和线性函数 y = 3x-2 的点, 那么一定会有 f (x) = 3x - 2. 这个方程

对于绝大多数 x 并不成立! 它只对交点的 x 成立. 依然用反证法, 假设

交点不止一个. 任意选取其中两个, 并这样分配记号 a 和 b, 使得 a <

b. 由于它们是交点, 我们知道有 f (a) = 3a - 2 和 f (b) = 3b - 2. 又

由于该函数对于所有实数都处处可导且连续, 根据中值定理, 在开区间

(a, b) 内一定有一点 c 使得

代入 f (a) = 3a - 2 和 f (b) = 3b - 2, 可得

但这是不可能的, 因为对于所有 x, f' (x) > 4. 因此, 最多只能有一个交

点.