Page 494 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

导的, 所以它也一定是处处连续的). 这个定理指出, 在 a 和 b 之间一定

存在一点 c 使得 f' (c) = 0. 但这是不可能的, 因为 f' (x) 一直是正的!

所以该函数满足水平线检验.

现在来看一个更难一点的例子. 假设函数 f 的二阶导数处处存在且

对于所有实数 x, f'' (x) > 0. 这次的问题是, 证明函数与 x 轴至多有两

个交点. 在开始解决问题之前, 让我们先稍微考虑一下这意味着什么？

你能想出一个函数, 对于所有实数 x, f'' (x) > 0 且与 x 轴没有交点

吗？那么一个交点呢？两个交点呢？如果你都能想得出来, 那再试试三

个交点的情形. 不过不要在这上面浪费太多的时间, 因为这是不可能的.

的确, 我们的问题就是证明交点的个数不能超过两个.

事实上, 这里的关键在于：如果有超过两个交点, 那就是说至少有三个

交点. 让我们假设有两个以上的交点, 然后任意选取其中三个, 并这样

分配记号 a, b 和 c 使得 a < b < c. 由于它们都为 x 轴截距, 所以有

f (a) = f (b) = f (c) = 0. 在闭区间 [a, b] 内我们应用罗尔定理. 由于

该函数在闭区间内处处连续, 开区间内处处可导, 所以一定有一点 p 在

开区间 (a, b) 内使得 f' (p) = 0. 为什么我要用 p 呢？因为这里 c 已

经被占了!

接下来看闭区间 [b, c]. 再一次地, 由于 f (b) = f (c), 根据罗尔定理,

在开区间 (b, c) 内一定存在一点 q 使得 f' (q) = 0. 别忘了, 我们已经

有 f' (p) = 0. 啊哈, 现在可以在闭区间 [p, q] 中使用罗尔定理, 但这