Page 500 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这样就完成了这个证明, 但你可能会想知道对于这个问题的另一种解

读. 想象一辆车 A 正以 3 英里/小时的速度前进, 它的开始位移为 -2,

那么它在任意时刻 t 的位移表达式为 3t - 2. 假设你在任意时刻 t 的位

移是 f (t), 那么 f' (t) > 4 意味着你在任意时刻的速度永远大于 4 英

里/小时 (与 A 车同方向). 所以问题变为, 证明你不能与 A 车相遇的次

数超过一次. 假设你们相遇超过一次, 那么由于 A 车的速度恒为 3 英

里/小时, 你至少在某一时刻的速度为 3 英里/小时. 但这是不可能的, 因

为你的速度一直都大于 4. 如果这样想的话, 这个问题的证明就很说得

通了!

中值定理的几个推论

长久以来, 一些关于导数的结论我们一直不加证明就直接使用. 比如说,

如果一个函数的导数始终为零, 那么这个函数一定为常数函数. 诸如这

样的事实看上去显而易见, 但其实是需要证明的. 下面就让我们用中值

定理去证明三个关于导数的有用事实.

(1) 假设函数 f 在开区间 (a, b) 内的任意一点的导数都为零. 这意味着

该函数的图像是水平的. 事实上, 很显然该函数在这个区间内是常数函

数. 但怎样证明呢？ 首先, 在该区间内固定一点 S, 然后在该区间内任

取一点 x(x 不同于 S). 根据中值定理, 在 x 和 S 之间一定存在一点 c

满足