Page 496 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

11.3 中值定理

想象你开始了另一段旅行, 我发现你在两个小时之内行驶了 100 英里.

因此, 你的平均速度为 50 英里/小时. 这并不是说你在整个行驶过程中

速度始终维持在恰好 50 英里/小时. 现在, 我的问题是：你的速度曾经

达到过 50 英里/小时吗？哪怕只是一瞬间.

答案是肯定的. 即使你在开始的第一个小时速度为 45 英里/小时, 第二

小时为 55 英里/小时, 你仍然不得不从低速加速到高速. 而在这个过程

中, 你有一瞬间的速度会是 50 英里/小时. 这是不可避免的! 不管你整

个的行驶过程是怎样的, 如果你的平均速度为 50 英里/小时, 那么你会

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有至少一次瞬时速度为 50 英里/小时. 当然, 你可能达到 50 英里/小

时不止一次 —— 可能很多次, 甚至你能始终以 50 英里/小时的匀速行

进. 这就引出了中值定理.

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再一次地, 所有这些都是基于一个很合理的假设 —— 你的汽车的运动是可导的!

这看起来有点儿古怪, 但实际上很说得通. 假设 f (t) 是你在时刻 t 的位

移, 你开始和结束的时刻分别为 a 和 b, 那么你的平均速度为多少？你