Page 498 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

间 (a, b) 内可导. 但罗尔定理还要求 f (a) = f (b), 中值定理则没要求

这个. 实际上, 如果你对满足 f (a) = f (b) 的函数 f 应用中值定理, 由

于 f (a) - f (b) = 0, 于是你知道在开区间 (a, b) 内有一点 c 使得 f'

(c) = 0. 所以中值定理可以推导出罗尔定理.

下面来看一些如何应用这个定理的例子. 首先, 如何证明方程

有解？一个方法是使用介值定理 (参见 5.1.4 节), 你可以现在试试. 不

2
x
过在这里, 我建议对区间 [0, 1] 上的函数 f (x) = e 使用中值定理.

这是可行的, 因为该函数在其定义域内是处处连续并可导的. 根据中值

定理, 在闭区间 [0, 1] 内至少存在一点 c 满足

显然需要求出 f' (x). 使用链式求导法则, 应该可以证明 f' (x) = 2x

2
x
e . 所以上述方程变为

2
c
这样就得到 2c e - e + 1 = 0, 从而证明了原始方程有解. 事实

上, 这也证明了在 0 与 1 之间存在一个解.