Page 503 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

11.4 二阶导数和图像

到目前为止, 还没有太多讨论过二阶导数. 我们只用它来定义过加速度,

仅此而已. 但实际上, 二阶导数能告诉你很多关于函数图像的信息. 例如,

假设知道对于开区间 (a, b) 内的所有 x, f'' (x) > 0. 而如果把二阶导数

看作导数的导数, 那么可以把二阶导数写为 (f' )' (x) > 0. 这意味着导

函数 f' (x) 始终是增函数.

那又怎么样呢？好吧, 如果知道导函数为增函数, 这意味着函数图像会变

得越来越 “陡峭”, 如图 11-9 所示. 在紧靠 x = a 的右边, 登山者轻松

惬意：斜率为负. 但情况逐渐变得越来越艰难. 山势变得越来越平坦, 直

到完全水平的 x = c 处, 然后随着斜率逐渐增加, 山势变得越来越陡峭,

直到 x = b 处. 这里的要点在于, 从 x = a 到 x = b 斜率始终在增加.

而这也正是式子 f'' (x) > 0 所暗示的.