Page 502 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

事实上, 使用前面的事实 (1) 可以很容易证明这一点. 假设对于所有 x,

f' (x) = g'(x). 现在令 h(x) = f (x)-g (x). 对等式两边同时求导, 有 h'

(x) = f' (x)-g' (x) = 0, 所以 h 为常数函数. 也就是说, h(x) = C (C

为某个常数). 这意味着 f (x) - g (x) = C 或 f (x) = g(x) + C. 函数 f

和 g 确实只相差一个常数. 这个事实对于我们后面章节的积分学习将

是非常有用的.

(3) 如果函数 f 的导函数始终为正, 那么该函数为增函数. 也就是说, 如

果 a < b, 则有 f (a) < f (b). 换句话说, 在图像上任取两点, 那么左边

的点一定低于右边的. 当你从左向右看时, 此曲线一点点变高. 但为什

么会这样呢？假设对于所有 x, 有 f' (x) > 0 并且假设 a < b. 根据中

值定理, 在开区间 (a, b) 内至少存在一个常数 c 使得

这意味着 f (b) - f (a) = f' (c)(b - a). 由于 f' (c) > 0 且 b - a > 0,

所以等式的右边为正. 这样我们有 f (b) - f (a) > 0, 因此 f (b) > f

(a), 所以该函数的确为增函数. 另一方面, 如果对于所有 x, f' (x) < 0,

那么这样的函数是减函数; 也就是说, 如果 a < b, 则有 f (a) > f (b).

证明的方法是基本一样的.

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