Page 501 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于我们已经假设函数的导数始终为零, 这说明 f' (c) 也一定为零. 所

以上述方程变为

这意味着 f (x) = f (S). 如果设 C = f (S), 那么对于所有在该区间内的

x 有 f (x) = C, 所以该函数为常数函数. 于是我们有这样的结论：

事实上, 在 10.2.2 节中已经使用过这个结论. 在那里, 如果 f (x) =

-1
-1
sin (x) + cos (x), 那么对于开区间 (-1, 1) 内的所有 x, f' (x) = 0.
于是我们得出结论, 函数 f 在该区间内为常数函数. 又由于 f (0) =

-1
π/2, 实际上得到：对于所有在开区间 (-1, 1) 内的 x 都有 sin (x) +
-1
cos (x) = π/2.

(2) 假设两个可导函数有相同的导数. 那么它们是同一个函数吗？不一

2
2
定, 它们可能相差一个常数. 例如, 函数 f (x) = x 和 g(x) = x + 1
有相同的导数 2x, 但很明显, 这两个函数是不同的函数. 那么还有其他

方法使这两个函数处处有相同的导数吗？答案是否定的, 相差一个常数

是唯一的方法.