Page 591 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

下面是另一个展示怎样使用微分的例子. 假设用一把尺子测得一个

圆球的直径为 6 英寸, 但这个测量结果有正负 0.5% 的误差. 如果使用

这个测量结果去计算该球的体积, 所得结论的准确度有多高？让我们使

用微分来求解, 至少是近似地. 如果球的半径为 r、直径为 D、体积为

V , 则 r = D/2, 有

3
当 D = 6 时, 有 V = π(6) /6 = 36π. 所以算得该球的体积为 36π 立

方英寸, 但其真值可能会比这略大或略小. 为了找出究竟多多少或少多

少, 让我们使用前边的加框公式 df = f' (a)Δx. 这里需要用 V 代替 f ,

用 6 代替 a, 以及用 D 代替 x, 以得到相应公式：

对前面 V 的表达式两边关于 D 求导, 得到

这意味着 V' (6) = 18π, 所以

这个方程意味着, 如果将直径 D 从 6 变为 6+ΔD, 那么体积 V 会改变

大约 18πΔD. 在我们的例子中, 直径的真值可能比 6 多或少 0.5%, 也