Page 596 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

也就是说, 当 h 很小时, ln(e + h) ≈ 1 + h/e. 这与上一例题中的结论

是很不同的; 在上一例题中, 当 h 很小时, ln(1 + h) ≈ h. 所以一切都

取决于 a 的值.

13.2.4 近似中的误差

我们一直在用 L(x) 作为 f (x) 的近似, 但它们并不是一回事. 那么我们

用 L(x) 代替 f (x) 的做法错得有多离谱呢？解答这个问题的方法是, 考

虑这两个量之间的差. 它们的差越小, 近似就越精确. 所以, 设

2
其中 r(x) 是使用在 x = a 处的线性化来估算 f (x) 时的误差. 结果表

明, 如果函数 f 的二阶导数存在, 至少在 x 和 a 之间存在, 那么对于

r(x) 就有一个很好的公式： 3

2
r(x) 中的字母 r 代表“余数”(remainder), 因为它是当你除去线性化后余下的部分.

3
证明请参见附录 A 中的 A.6.9 节.

, 其中 c 为在 x 和 a 之间的某个数.

但问题是, 我们不知道 c 的值, 只知道它在 x 和 a 之间. 上述公式与

11.3 节讨论过的中值定理有关系. 该定理告诉了我们数 c 的性质, 却

没有透露关于它的更多信息, 所以我们不该奇怪它也在这里出现了.