Page 593 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(3) 对 f 求导, 找出 f' (x).

(4) 在上述方框公式中, 用实际的函数分别替代 f 和 f' , 用你选定的实

际数值替代 a.

(5) 最后, 把第二步中的 x 值代入公式加以计算. 另外注意到微分 df 等

于量 f' (a)(x - a).

下面让我们来看几个例子. 首先, 你会怎样估算 sin(11π/30)？先

写出标准公式：

我们需要求的是某数的正弦值, 所以设 f (x) = sin x. 并且我们对当 x

= 11π/30 时的函数值感兴趣. 接下来需要选择一个接近于 11π/30 的

数 a, 并使得 f (a) 容易计算. 当然, f (a) 就是 sin(a). 那么什么数既接

近于 11π/30, 其正弦值又容易计算呢？10π/30 怎么样？毕竟它就是

π/3, 而我们显然很清楚 sin(π/3) 的值. 所以不妨设 a = π/3.

这样就完成了前两步, 下面进入第 (3) 步. 求导得到 f' (x) = cos x, 所

以线性化公式变为

由于 f (x) = sin x, 上式可化简为