Page 598 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

假设我们知道当 t 在 x 和 a 之间变化时, |f'' (t)| 的最大值是某数 M .

那么尽管我们不知道 c 的具体值, 仍能知道 |f'' (c)| ≤ M , 于是有

|误差| ,

其中 M 是当 t 在 x 和 a 之间变化时, |f'' (t)| 的最大值. 实际上, 在上

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述等式中要紧的因子不是 M , 而是 |x - a| . 你看, 当 x 接近于 a 时,

量 |x - a| 已经很小, 而平方之后它就更小了. (例如, 当对 0.01 求平方

时, 你将得到一个更小的数 0.0001.) 这意味着误差很小, 所以近似很

好!

让我们看一下如何将此应用到刚才估算 的例子. 设

. 还取 a = 9, x = 11. 现

在的问题是, 当 t 在 9 和 11 之间变化时, |f'' (t)| 的值最大会是多少？

很显然,

等式右边是个关于 t 的减函数, 所以当 t 最小, 也就是 t =9 时, 函数值

越大. 所以 M = |f'' (9)|, 也就是 1/108. 于是可以得出结论：

|误差| .