Page 597 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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我们可从上述公式看出两件事. 首先, 注意到 (x - a) 项始终为正. 这
意味着 r(x) 的符号与 f'' (c) 的符号相同. 因此, 如果知道函数图像是凹

向上的, 至少在 x 和 a 之间是如此, 那么就知道 r(x) 为正. 又由于

r(x) = f (x) - L (x), 所以就有 f (x) > L (x). 这意味着近似值比实际

值偏小, 我们低估了. 前面图 13-11 所示的情形便是如此. 另一方面,

如果函数图像是凹向下的, 那么 f'' (c) 必定为负, 从而可知 f (x) < L

(x). 这意味着近似是高估了.

例如, 在 13.2 节开头部分估算 的例子中, 我们使用了 .

通过算得 和 , 可以看出函数图像始终

是凹向下的. 或者也可以通过画函数图像看出来. 不管是哪种情况都可

以看出, 得到的近似值 必定比实际值略大.

总结而言,

如果 f'' 在 a 和 x 之间为正, 则通过线性化得出的估算是低估.

如果 f'' 在 a 和 x 之间为负, 则通过线性化得出的估算是高估.

现在让我们再来看一下刚才的误差方程. 如果对上述方程的两边取绝对

值, 可得

|误差| .