Page 631 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

14.2 关于极限的总结

现在需要巩固一下我们所学的关于极限的知识. 下面简要总结了我们

学过的关于计算极限的所有方法. 这些方法可应用于 形式的

极限, F 是一个至少在 a 点附近连续的函数, 但在 a 点可能不连续. 当

然, a 也可能是 ∞ 或 -∞. 这样, 我们有如下的总结.

首先尝试使用替换法. 这样你可能就会求得极限结果.

如果替换导致出现 b/∞ 或 b/(-∞) 的形式, b 是个限定的数, 那么

该极限的结果为 0.

如果替换之后的形式为 b/0, 但 b 不为 0, 这时说明该函数有垂直

渐近线, 即左极限和右极限为 ∞ 或 -∞, 那么双侧极限或者不存在

(如果左右极限不相等) 或者为 ∞ 或 -∞. 使用在 x = a 点附近的

符号表格去查找左极限和右极限 (请参见 4.1 节).

如果不是上述任何一种情况, 那么该极限就为 0/0 形式. 首先看它

是否为导数定义的形式. 如果你可以把它改写为某种特定函数关

于特定的数 x 的导数形式 , 这时该极限为 f'

(x). 我们在 14.1.1 节中见过该形式, 其实这种类型的极限也可以

用洛必达法则来解决. (参见 6.5 节. )