Page 729 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

16.7 不可积的函数

16.2 节曾提及, 如果函数 f 为有界函数并在区间 [a, b] 上有有

限个不连续点, 那么函数 f 是可积的; 也就是说, 定积分 存在.

顺便提一下, 不连续是不可导的一种情况; 也就是说, 如果函数在 x =

a 点不连续, 那么它在该点也不可导 (参见 5.2.11 节). 积分同可导的

情况有所不同, 即使是不连续的函数, 只要它有有限个不连续点也是可

积的. 现在, 让我们看一个有太多个不连续点的函数的积分情况.

首先, 我们回忆一下有理数的定义. 有理数可以被写成 p/q 形式, 其中

p 和 q 为整数 (它们没有公约数), 而无理数就不可能写成这种形式.

现在, 对于区间 [0, 1] 内的数 x, 我们设

这是一个很奇怪的函数. 在 0 和 1 之间有太多的有理数和无理数. 事

实上, 每两个有理数之间都有一个无理数; 每两个无理数之间也有一个

有理数! 所以当我们试着绘制函数 y = f (x) 的图像时, 可能会想到如

图 16-32 的图像.