Page 818 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

18.3 部分分式

让我们研究怎样对一个有理函数求积分. 我们将要计算积分

其中 p 和 q 为多项式. 这种类型在积分中所占的比例很大, 例如

或 .

这些题目看起来有些复杂. 也有一些简单的例子：

和 .

后面这四个积分也是有理函数的积分, 但相对简单一些. 我们可以

尽量使用换元法求解这些积分. (这四道题的换元分别是 t = x - 3, t

2
= x + 5, t = x/3 和 t = x + 9.) 前面两个积分的分母是线性方程

的幂, 而后两个是二次函数且不能因式分解.

基本方法：首先会看怎样处理有理函数, 我们通过一些代数运算把它

分解成几个更简单的有理函数的和的形式; 然后将看到如何对这些简

单的有理函数求积分. 我们提到的这些更简单的有理函数就像刚才最

后那四个一样：它们看起来要么像一个常数除以一个线性函数, 要么