Page 847 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

19.2 关于三角函数的幂的积分

现在我们将要研究怎样求解被积函数是三角函数的幂的形式的积分,

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例如求解 ∫cos (x) sin (x)dx 或 ∫sec (x)dx. 遗憾的是, 被积函数
中的三角函数的类型不同, 求解积分所要求的积分技巧也不同. 所以我

们来分别讨论它们.

19.2.1 sin 或 cos 的幂

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刚才的例子 ∫cos (x) sin (x)dx 就属于这种类型. 这里有一个
黄金法则：如果 sin(x) 或 cos(x) 其中一个的幂是奇数, 那就一定要

抓住它 —— 它是你的朋友! (如果两个都为奇数, 把幂低的那个选做你

的朋友.) 如果你已经抓住了奇次幂, 这时需要做的是拿出一项同 dx 放

在一起, 再用下列公式中的一个处理剩下的项 (现在是偶次幂了)

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注意这两个公式就是 sin (x) + cos (x) = 1 的另一种写法. 我
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们来看怎样使用这个方法. 在 ∫cos (x) sin (x)dx 中, 注意 7 是奇
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数, 于是我们得到了 cos (x), 这时需要移出一个 cos(x) 并把它和 dx

放到一起. 我们得到