Page 892 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

所以正在求的积分 小于或等于无穷大. 也就是说, 它可能是小

于无穷的, 所以是收敛的; 它也可能是等于无穷的, 所以是发散的. 很

好, 我们知道它既可能是收敛的也可能是发散的. 我们没有得到任何结

论, 所以这个条件什么都没有给我们.

另一方面, 对于收敛性, 方向要反过来. 是这样的：我们想知道积分

的情况, 但现在知道积分 是收敛的, 那么我们希望 f

(x) ≤ g(x). 你可能会说, 我们希望函数 f 是由函数 g 控制的. 很好,

这时我们已经可以确定收敛性了(仍然假设两个函数都是正的). 也就是

说, 如果在区间 (a, b) 内 0 ≤ f (x) ≤ g(x), 且积分 是收敛

的, 那么积分 也一定是收敛的. 数学上的表示形式是

所以两个积分都是收敛的 (注意左边的积分是正的, 所以它不可能发散

到 -∞), 见图 20-5.