Page 894 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

所以, 不等式左侧的积分大于或等于一个有限的数, 积分可能是有限的

也可能是无限的. 这相当于没有得到任何结论. 我们又白费力气了!

到目前为止, 从数学角度看, 我们还没有正式说明比较判别法. 实

际上, 这种方法并不是很复杂. 把积分分解开是必要的, 我们已经了解

了其基本思想. 例如, 如果函数 f 和 g 在 x = a 点都有垂直渐近线, 在

其他地方没有破裂点, 且区间 [a, b] 内的所有 x 都有 0 ≤ f (x) ≤

g(x), 那么我们有

对于任何 ε > 0 成立. 现在取极限. 如果反常积分 收敛, 那么

不等式右边就是个有限的数. 现在的情况由中间的那个积分来决定. 因

为函数 f (x) 一直都为正, 所以当 ε 趋于 0 时, 这个中间积分变得越来

越大. 虽然如此, 但它再大也大不过积分 , 而这个积分恰恰就

+
是一个有限的数. 所以唯一的可能性是：当 ε → 0 时, 这个中间积分

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收敛于一个有限的数 . 简而言之, 积分 是收敛的. 这样, 我们
从收敛角度 (上述的第二个反常积分) 证明了比较判别法, 在上述特殊

情况下, 函数 f 和 g 仅仅在 x = a 点出现瑕点. 我把证明发散的部分

留给你去做, 而且也要说明在 x = b 点出现瑕点的情况. 这同证明收

敛没什么不同. 当然, 如果瑕点出现在积分的中间, 或有多个瑕点, 在

使用比较判别法之前就需要把积分分成几个部分.