Page 896 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.4 极限比较判别法 (理论)

比较判别法是用一个函数的反常积分的结果去判别另一个函数的反常

积分. 极限比较判别法是类似的, 但并不需要一个比被判别的函数更大

的函数. 相反, 我们仅仅需要两个近似的函数. 其基本思想是：假设有

两个函数在破裂点 x = a 是非常接近的 (它们再也没有其他的破裂

点), 那么积分 和 同时收敛或同时发散, 它们的行为

是相同的. 直观上讲, 这个说法是行得通的, 我们来仔细说说什么叫两

个函数是 “非常接近” 的.

20.4.1 函数互为渐近线

假设有两个函数 f 和 g 满足

这就是说, 当 x 接近于 a 时, f (x)/g(x) 的比值是非常接近于 1 的. 如

果比值是 1, 那么函数 f (x) 和 g(x) 是相等的; 因为比值仅仅是接近

于 1, 所以 f (x) 是非常接近于 g(x) 的. 但这并不意味着函数 f (x) 和

g(x) 的差是非常小的! 例如, (对于同样的值 x) 函数 f (x) 可能是万

亿, 而 g(x) 可能是万亿加上一百万; 在这种情况下, 比值 f (x)/g(x)

比 1 略小, 而 f (x) 和 g(x) 的差却是一百万! 但从另一个角度说, 这