Page 898 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

的. 同理, 第二个极限表明, 当 x → 0 时, sin(x) ~ x. 第三个和第四个

x
极限表明, 当 x → 0 时, e - 1 和 ln(1 + x) 同 x 是渐近等价的; 也就

x
是说, 当 x → 0, e - 1 ~ x 和 ln(1 + x) ~ x.

我们只是以不同的形式重写了每一个极限, 但这是一种很方便的形式.

实际上, 你可以对渐近等价的函数做幂运算, 然后得到一对新的渐近等

价的函数. 例如, 我们知道当 x → 0 时有 sin(x) ~ x, 则可以立刻写

3
3
出, 当 x → 0 时有 sin (x) ~ x , 或者 1/ sin(x) ~ 1/x. 你也可以用
其他像 x 一样趋于 0 的量替代 x, 比如 x 的幂. 例如, 从 x → 0 时

7
7
sin(x) ~ x 开始, 我们用 4x 替代 x, 可看到当 x → 0 时, sin(4x )
7
~ 4x . 你甚至可以让两个渐近等价的函数相除或相乘, 假设它们的极

限对应的 x 值相同. 例如, 我们知道当 x → 0 时 tan(x) ~ x, 因为

所以我们能把 sin(x) ~ x 和 tan(x) ~ x 乘到一起, 得到当 x → 0 时

2
的渐近关系 tan(x) sin(x) ~ x .

加或减这些关系却不适用上述规则. 例如当 x → 0 时, 以 tan(x)

~ x 和 sin(x) ~ x 开始, 那么不能从第一个中减去第二个得到

tan(x) - sin(x) ~ x - x. x - x 是 0, 没有什么能同 0 是渐近等价的.

为什么没有呢？因为, 如果当 x → a 时有 f (x) ~ 0, 这时我们有