Page 899 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这讲不通, 因为等式的左边没有任何意义. 所以, 可以对这种渐近等价

关系做乘积、除法、取幂, 但一定不要做加法和减法.

20.4.2 关于判别法的陈述

好了, 现在我们已经有了渐近等价两个函数的概念, 也有了一些例子

(如 x → 0 时 sin(x) ~ x). 那又怎样呢？假设某个函数 f , 它的瑕点

仅仅在 a 点, 你想知道反常积分 是收敛还是发散的. 如果当

x 趋近于 a 时, 你能找到一个函数 g 的走势非常接近于 f , 那么可以

用函数 g 替代函数 f , 判断积分 是收敛的还是发散的. 无论

你得到什么关于 g 的结论都适用于 f .

更正式地说, 如果当 x → a 时 f (x) ~ g(x), 且这两个函数在区

间 [a, b] 上没有其他的瑕点了, 那么积分 和 是同时

收敛或同时发散的. (如果同时收敛, 它们的收敛值可能不同.) 这就是

极限比较判别法. 这只是粗略的介绍, 我们将在下一章给出更多的例

子. 假设我们想知道积分

是收敛的还是发散的. 看起来求解 的反导数不是一件容易的

事情. 很幸运, 我们不需要求它的反导. 因为当 x → 0 时sin(x) ~ x,

所以可以用一个更小的量 替代这个很小的量 x, 这样可得当 x →